Математика Решение задач на вычисление пределов.

Ответы к учебнику по математике Петерсон Л.Г. за 2 класс 3 часть, можно посмотреть тут.

 

Непосредственное вычисление пределов.

В простейших случаях нахождение предела сводится к подстановке предельного значения аргумента в функцию: если f(x) - элементарная функция,

Выделение главной части функции.

 Выделение главной части функции - мощный приём при решении задач на вычисление пределов. Основная цель выделения главной части - получение более простой функции, которая в окрестности предельной точки ведёт себя также, как исходная громоздкая (тогда по теореме 4.4.9.2 о замене бесконечно малых на эквивалентные мы можем заменить громоздкие функции в числителе и знаменателе на эквивалентные простые); основной инструмент при выделении главных частей - табл. 4.4.10 эквивалентных бесконечно малых. Двойной интеграл примеры решений задач типового расчета по математике

Раскрытие неопределённостей.

 Более сложные случаи при решении задач на пределы - если подстановка предельного значения аргумента в функцию приводит к неопределённым выражениям, символически обозначаемым как  . Нахождение предела в этом случае называется раскрытием неопределённости. Рассмотрим элементарные приёмы раскрытия неопределённостей.

Показательно-степенные неопределённости  сводятся к неопределённости  следующим образом:  (убедитесь, что во всех трёх случаях в показателе экспоненты получится неопределённость ). Однако неопределённости  ("типа е") часто сводят непосредственно ко второму замечательному пределу: пример 1.

Как уже говорилось, выделение главной части функции в совокупности с теор.4.4.9.2 о замене БМ и ББ на эквивалентные - наиболее мощный приём при решении задач на вычисление пределов. Пример: выделив главные части числителя и знаменателя, найти

Арифметические операции над непрерывными функциями.

Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.

Непрерывность суперпозиции функций.

Теорема о непрерывности суммы, произведения, частного. Пусть функции f(x), g(x) непрерывны в точке х0. Тогда в этой точке непрерывны функции f(x)±.g(x), f(x)g(x),  (частное - в случае, когда g(х0)¹0).

Непрерывность элементарных функций.

 Цель этого раздела - доказать факт, которым мы уже пользовались: любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

Непрерывность рациональных функций: 1. Постоянная функция y(х) = C = const, очевидно, непрерывна в любой точке (предел постоянной функции равен этой постоянной в любой точке).

Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва.

Определение односторонней непрерывности.

В определении непрерывности функции в точке х0 требуется существование  и равенство . С применением односторонних пределов определяются понятия непрерывности функции в точке слева и справа:

Непрерывность и разрывы монотонной функции.

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] и монотонна на этом отрезке. Тогда f(x) может иметь на этом отрезке только точки разрыва первого рода.

 Док-во. Рассмотрим для определённости случай монотонно возрастающей функции. Пусть х0Î[a,b] и не является левым концом этого отрезка. Рассмотрим полуинтервал [a, х0). В разделе 4.3.2. Свойства сходящейся последовательности мы доказали, что монотонно возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел.

Теорема о достижении минимального и максимального значений. Если функция f(х) непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои нижнюю и верхнюю грани.

Док-во. Пусть М*=. Требуется доказать, что , в котором f(х1)=М*. От противного: предположим, что для  f(х)<М*. Рассмотрим функцию . Так как, по предположению, знаменатель не обращается в нуль, эта функция непрерывна, следовательно, по Теор.5.6.3 об ограниченности непрерывной функции на отрезке ограничена: Û, т.е. число , меньшее М*, оказывается верхней границей множества , что противоречит определению верхней грани. Аналогично доказывается, что , в котором f(х2)= М*=.

Атомная промышленость. Лекции по физике, математике, информатике MATLAB пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений