Последовательность и её предел

 

Определение последовательности и её предела.

Последовательностью называется любой счётный набор действительных чисел а1, а2, а3,…, аn,….

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Док-во. Пусть $. Возьмём e=1. $N: n> N Þa-1<an < a+1. Итак, все члены последовательности, начиная с N+1, ограничены снизу числом a-1, сверху - числом a+1. Вне окрестности U1(a) точки a может лежать не более N членов. Возьмём в качестве нижней границы число М1=min{a1,a2,a3,…,aN,a-1}, в качестве верхней границы число М2=max{a1,a2,a3,…,aN,a+1}. Тогда М1an М2, т.е. последовательность  действительно ограничена.

Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

  Достаточность строго доказывать не будем, приведём идею доказательства. Если последовательность фундаментальна, то она ограничена (доказывается аналогично свойству 4.3.2.3), следовательно из неё можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу a. Далее показывается, что это число будет пределом всей последовательности .

Число е Здесь мы докажем существование числа, играющего исключительную роль в природе и математике - числа е. Это число определяется как . изменить порядок интегрирования Математика Примеры решения задач

 

Предел функции одной переменной.

Предел функции. В этом разделе мы изучим основное понятие математического анализа - предел функции. Все остальные объекты, которые встречаются в анализе (производная, интеграл и т.д.) определяются с помощью предела.

Определение предела функции в точке.

 Опр.4.4.1. Пусть а - предельная точка области определения Х функции f(x). Число b называется пределом функции при х, стремящемся к а, если для любого числа e>0 существует такое число d (вообще говоря, положительное и зависящее от e), что если хÎХ принадлежит также проколотой d-окрестности  точки а, то значение функции f(x) принадлежит e-окрестности числа b.

Опр.4.4.2. Пусть {xn | xnÎX, xn ¹a} - последовательность точек области определения функции f(x), сходящаяся к точке а. Если для любой такой последовательности {xn} последовательность значений функции { f(xn)} сходится к числу b, то b называется пределом f(x) при x®а. (В МГТУ опр.3.4.1 принято называть определением Коши, опр.3.4.2 - определением Гейне).

Предел функции на бесконечности.

Пусть область определения Х функции f(x) неограничена. Число b называется пределом функции при х, стремящемся к µ, если для любого числа e>0 существует такое число K, что если хÎХ удовлетворяет условию | x |> K, то значение функции f(x) принадлежит e-окрестности числа b.

Бесконечно большие функции.

Функция f(x) называется положительной бесконечно большой при х®а, если .

Функция f(x) называется отрицательной бесконечно большой при х®а, если .

Такие же определения даются для случаев х®а+0, х®а-0, х®+¥, х®-¥.

Бесконечно малые (БМ) функции.

Функция f(x) называется бесконечно малой при х®a, если .

БМ функции принято обозначать греческими буквами:a(х), b(х) и т.д, так и будем делать. Перевод определения на язык e-d:

a(х) - БМ при х®a Û {"e>0 $d: 0<| x-a |<dÞ|a(х)|<e}.

БМ обладают всеми свойствами функций, имеющих предел. В этом разделе мы изучим специфические свойства БМ.

Произведение БМ на ограниченную функцию - БМ функция.

Арифметические действия с пределами

Второй замечательный предел. Изучая пределы последовательностей, мы доказали, что $. Распространим это доказательство на случай действительной переменной, докажем, что . Пусть n=E(x), тогда n£ x <n+1. Если x ®+¥, то и n®¥, поэтому можем считать n >1. Из неравенства  вследствие монотонного возрастания степенной функции с аргументом и степенью >1, получим

Сравнение поведения функций при х®а. Главная часть функции.

 Здесь мы определим символику, которая применяется в математической и технической литературе для сравнительного описания поведения функций вблизи предельной точки.

f(x)~g(x) (f(x) эквивалентна g(x)) при х®а, если f(x)= s(x)g(x), где s(x)®1 при х®а. Если g(x)¹0 в окрестности точки а, то f(x)~g(x), если =1.

В остальных определениях мы не будем писать х®а, но это везде подразумевается. Всё, что будет рассматриваться, верно и в случаях х®а-0, х®а+0 и т.д. В скобках будут даваться равносильные определения для случая, когда g(x)¹0 в окрестности точки а.

Сравнение бесконечно малых функций.

 В предыдущем разделе введены определения, описывающие поведение при х®а произвольных функций. Здесь мы уточним эти определения для случая бесконечно малых функций. Поведение БМ функций сравнивается, если существует конечный или бесконечный предел их отношения. Итак, пусть a(х)®0, b(х)®0

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Атомная промышленость. Лекции по физике, математике, информатике MATLAB пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений