Математика Исследование функций и построение их графиков

Форма Пеано остаточного члена формулы Тейлора.

Лемма 7.8. Пусть для функции Rn(x) существуют все производные вплоть до n-го порядка и выполняются условия . Тогда при  эта функция является бесконечно малой выше n-го порядка по сравнению с х- х0.

Док-во проведём по методу математической индукции. Если n = 1 и L(x0) = L'(x0) = 0, то, по теор.6.2 о приращении дифференцируемой функции DL = L(x) - L(x0) = L(x) = L'(x0)Dx+ a(Dx)Dx =a(Dx)Dx= о(Dx)= о(x- x0) (a(Dx) - БМ при Dx®0). Пусть теперь утверждение леммы справедливо для n-1 (т.е. если , то

L(x)=о(x- x0)n-1), докажем, что оно верно и для n. Пусть для функции Rn(x) выполняются условия . Функция Rn'(x)=L(x) удовлетворяет утверждению леммы c n-1, поэтому R'n (x) = о(x- x0)n-1. Тогда по формуле конечных приращений Лагранжа (7.3) Rn(x) = Rn(x) - Rn(x0) = R'n(с)( x- x0), где с находится x между и x0, и так как

| с- x0 | <| x- x0 |, то R'n(с) = о(с- x0)n-1 = о(х- x0)n-1, поэтому Rn(x) = R'n(с)( x- x0) =

= о(х- x0)n-1( x- x0) = о(х- x0)n, что и требовалось доказать.

 Таким образом, для остаточного члена мы получили оценку Rn(x) = о(х- x0)n. Так как , то окончательно

Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

7.7.4. Форма Лагранжа остаточного члена формулы Тейлора. Если в окрестности  точки x0 существуют все производные функции f(x) до n+1-го порядка, можно получить другое представление остаточного члена: , где , точка с расположена между x и x0. Это представление остаточного члена называется формой Лагранжа.

Докажем это утверждение. Заметим, что . Вместе с функцией Rn(x) рассмотрим функцию . Эта функция, как и Rn(x), имеет в точке x0 n равных нулю производных: , а . К паре функций Rn(x),  на отрезке  применим теорему Коши: , где точка  расположена между x и x0. Далее к паре функций R'n(x),  на отрезке  снова применим теорему Коши: , где точка  расположена между x и . Продолжим этот процесс для R"n(x), , R'''n(x),  и т.д., окончательно получим: . Итак, , откуда  (мы переобозначили ), что и требовалось доказать.

Число с удобно записать в виде , где , тогда .

Итак, формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид

Частный случай формулы Тейлора в случае x0 = 0 принято называть формулой Маклорена. Так, формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа такова:

Кратные и криволинейные интегралы Двойной интеграл, его вычисление в декартовых и полярных координатах. Вычисление площади и объема с помощью двойного интеграла. Криволинейный интеграл первого и второго рода. Физический смысл криволинейного интеграла второго рода. Связь между двойными и криволинейными интегралами. Формула Грина
Определенный интеграл примеры решения задач