Математика Исследование функций и построение их графиков

Раскрытие неопределённостей с помощью правила Лопиталя.

Сравнение скорости роста логарифмической, степенной и показательной функций при .

 Ниже приводятся примеры применения правила Лопиталя для раскрытия неопределённостей. Подчеркнём, что в теоремах Лопиталя предполагается существование предела отношения производных, поэтому бессмысленно пытаться применить это правило к раскрытию, например, следующей неопределённости:

, и предела в правой части не существует. В тоже время эта неопределённость легко раскрывается элементарными методами:

.

7.6.1. Неопределённость .

.

.

Если правило Лопиталя снова приводит к неопределённости, оно может применяться неоднократно. При этом допустимы упрощения полученных выражений, сокращение общих множителей, использование известных пределов и т.д.:

  7.6.2. Неопределённость.

4.

  В следующих двух примерах мы сравним скорость роста при   логарифмической , степенной  и показательной  функций:

5. .

6. Предел  найдём вначале в случае, когда  - натуральное число. Применяя правило Лопиталя n раз, получим:

.

Пусть теперь b - произвольное вещественное число, b >0. Тогда n = E(b) £b< n+1,

 . Переходим к пределу при . Пределы отношений, стоящих слева и справа, равны нулю; по теор.4.4.6 о пределе промежуточной функции .

Вывод: при  = о(),=о() (), т.е. при  ББ функция  имеет более высокий порядок роста, чем ББ функции   и ; ББ функция  имеет более высокий порядок роста, чем ББ функция .

Теор.7.6. Пусть функции f (х) и g (х): 1. определены и непрерывны на бесконечном полуинтервале [a, +¥), а>0; 2., ; 3. существуют производные f '(х) и g'(х) на интервале (a, +¥), причём g'(х) ¹ 0; 4. существует (конечный или бесконечный) . Тогда существует , и .

 Док-во. Перейдём к новой переменной t=1/x; x=1/t. Если , то . На отрезке  рассмотрим функции  и . Эти функции удовлетворяют условиям теоремы 7.5, поэтому . С другой стороны, , откуда и следует справедливость утверждения теоремы.

 Сформулируем без доказательства теорему, которая позволяет раскрывать неопределённости вида :

 Теор.7.7 (неопределённость ). Пусть функции f (х) и g (х): 1. непрерывны на полуинтервале (a, b]; 2., ; 3. существуют производные f '(х) и g'(х) на интервале (a,b), причём g'(х) ¹ 0; 4. существует (конечный или бесконечный) . Тогда существует, и .

Теорема остаётся справедливой и для случаев . В целом теоремы Лопиталя - это мощное средство для раскрытия неопределённостей всех видов.

Кратные и криволинейные интегралы Двойной интеграл, его вычисление в декартовых и полярных координатах. Вычисление площади и объема с помощью двойного интеграла. Криволинейный интеграл первого и второго рода. Физический смысл криволинейного интеграла второго рода. Связь между двойными и криволинейными интегралами. Формула Грина
Определенный интеграл примеры решения задач