Исследование функции, построение графика

Переход от неравенств к уравнениям в задачах математического программирования

Все неравенства, описанные выше определяют некоторое множество значений величин х₁, х₂, х_n, которые удовлетворяют этим неравенствам. Покажем как от системы неравенств перейти к равенстам вводя дополнительные переменные.

Рассмотрим линейное неравенство:

a₁х₁+а₂х₂+…+x_nx_n b, (7)

добавим к левой части некоторую неотрицательную величину х_n+10 (8)

Неотрицательное значение переменной х_nн0 называется дополнительной переменной.

Перепишем сформулированные выше задачи в виде условий типа равенств с введением дополнительных переменных.

Задача использования сырья

Найти максимальное значение функции Z=с₁x₁+…с_nx_n +0*x_n+m (9)

(10)

где х_n+1,… х_n+m - дополнительные положительные переменные, соответствующие им коэффициенты в целевой функции с_n+1=…c_n+m=0

Рассмотрим пример решения линейного программирования графическим методом.

Для изготовления различных изделий А и В используются три вида сырья. На производство единицы изделия А требуется затратить сырья первого вида 6 кг, сырья второго вида - 5 кг, сырья третьего вида 3 кг. На производство единицы изделия В требуется затратить сырья первого вида 3 кг, сырья второго вида 10 кг, сырья третьего вида 12 кг.

Производство обеспечено сырьем первого вида в количестве 714 кг, сырьем второго вида в количестве 910 кг, сырьем третьего вида в количестве 948 кг.

Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет 3 рубля, а от изделия В – 9 рублей.

Составить план производства изделий Аи В, обеспечивающий, максимальную прибыль от их реализации

х₁ – надо изготовить изделий вида А;

х₂ – надо изготовить изделий вида В,

тогда сырья первого вида для производства изделий вида А потребуется 6 х₁ кг;

второго вида для производства изделий вида А потребуется 5х₁ кг;

третьего вида для производства изделий вида А потребуется 3х₁ кг;

Сырья первого вида для производства изделий второго вида В потребуется 3х₂кг;

второго для производства изделий второго вида В потребуется 10х₂кг;

третьего для производства изделий второго вида В потребуется 12х₂кг.

Учитывая обеспеченность производства сырьем,

должны выполняться эти ограничения.

Также очевидно , что х₁ 0, х₂ 0

Составим уравнение границ области планов и построим ее.

Поскольку у нас 2 переменных, х₁ и х₂, то геометрически неравенства будут изображаться полуплоскостями, а их границы, соответсвенно будут прямыми линиями

при том, что х₁ 0, х₂ 0, то есть все рисунки будут располагаться в первой четверти.

Обозначим наши уравнения L₁, L₂, L₃ и построим их по точкам.

L₁ –прямая, соответствующая первому уравнению.

Положим х₁ =119, тогда х₂ =0

при х₁=84 х₂=70

Значит прямая L₁, проходит через точки (119, 0) и (84, 70).

L₂ –прямая, соответствующая второму уравнению.

Положим х₁ =50, тогда х₂ =66

при х₁=62 х₂=60

Значит прямая L₂ проходит через точки (50, 66) и (62, 60)

Положим х₁ =70, тогда х₂ =61,5

при х₁=116 х₂=50

Значит прямая L₂ проходит через точки (70, 61.5) и (116, 50)

Нарисум их график:

Прямые L₁, L₂, L₃ образуют многоугольник, который является границей множества планов. Нам уже известно, что линейная функция достигает своего минимального (максимального) значения в угловой точке (вершине) многогранника решений. У нас в простом случае получился многоугольник на плоскости.

Какова наша целевая функция?

Прибыль от реализации одного изделия составит 3 рубля, следовательно, от всех изделий вида А – 3х_1.

Прибыль от реализации одного изделия вида В составит 9 рублей, следовательно, от всех изделий вида В – 9 х₂

Итого, прибыль от нашего производства составит: Z=3x₁+9x 2