Орбитальный момент
Приведем пример. Пусть
. Тогда получаем три гармонических полинома 
:
.
Сферические функции 
реализуют неприводимое 
-мерное представление группы вращений 
, образуя базис в пространстве функций,
заданных на сфере единичного радиуса.
Покажем теперь, что
целочисленность 
следует из более слабого требования, чем однозначность
волновой функции. В общей теории момента фундаментальную роль играют соотношения
(см. выше)
.
Отсюда следует
В рассматриваемом случае орбитального момента получаем
.
Покажем,
что это соотношение не выполняется, если 
- четное целое число. Для этого удобно
использовать декартовы координаты, в которых имеем: перетяжка алькантарой
Заметим,
что для произвольной функции 
имеем
.
Далее сделаем комплексную замену переменных:
.
В результате приходим к соотношению
.
Оно
должно выполняться тождественно, что невозможно при целом 
.
Следовательно, - целое число. Более подробное рассмотрение
показывает, что для полуцелых (
) операторы
момента 
оказываются неэрмитовыми,
т.е. не могут быть наблюдаемыми.