Алгебра гармонического осциллятора. Метод факторизации
Покажем, что спектр и собственные векторы гамильтониана ГО можно найти, используя только алгебру наблюдаемых и общие свойства гильбертова пространства состояний.
Запишем гамильтониан в виде
,
где,
как и выше, 
, а 
. Нормированный (безразмерный) гамильтониан 
представим в факторизованном виде:
.
Введем эрмитово сопряженные друг другу операторы
,
где
учтен фундаментальный коммутатор 
и равенство 
.
В результате получаем факторизованное представление гамильтониана ГО:
.
Задача
свелась к нахождению спектра 
и нормированных собственных векторов (СВ)
эрмитова оператора
.
Итак,
.
Отсюда получаем:
.
Следовательно, спектр энергии ГО ограничен снизу:
.