Векторная и линейная алгебра и аналитическая геометрия Контрольная работа

Дифференциальные уравнения

Задача 26. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки  где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение  получим

 или 

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим  откуда  

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Задача 27. Найти общий интеграл дифференциального уравнения 

Решение. Это однородное дифференциальное уравнение. Его вид  позволяет сделать замену  и свести к уравнению с разделяющимися переменными. Итак, заменяя функцию у на t , получаем

,

Уравнение примет вид

Разделяем переменные и интегрируем:

Выполнив обратную замену, находим общий интеграл исходного уравнения – решение, записанное в неявном виде

Пример 17. Найти базис и размерность данных линейных пространств: а) множества векторов, лежащих на прямой (коллинеарных некоторой прямой) б) множество векторов, принадлежащих плоскости в) множество векторов трёхмерного пространства г) множество многочленов степени не выше второй.
Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов