Односторонние производные функции в точке.

  Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х₀ называется правое (левое) значение предела отношения  при условии, что это отношение существует.

  Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х₀, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х₀, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х₀, она может быть в ней не дифференцируема.

  Например: f(x) = ïxï- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна  в этой точке, однако, не имеет в ней производной.

  Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

  Понятно, что это условие не является достаточным.

Основные правила дифференцирования.

  Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3), если v ¹ 0

  Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Производные основных элементарных функций. 

  1)С¢ = 0; 9)

  2)(x^m)¢ = mx^m-1; 10)

  3)  11)

  4)  12)

  5)  13)

  6)  14) 

  7) 15)

  8)  16) 

Производная сложной функции.

  Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

  Тогда 

 Доказательство. 

( с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

  Тогда