Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 3а. Изгиб балки-консоли Для каждой из двух схем требуется: 1. Найти опорные реакции построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать сечения заданной формы: - для балки № 1 - прямоугольное с заданным соотношением h/b, - для балки № 1 - круглое. Материал обоих балок: древесина

Понятие о приведенной массе

 Рассмотрим упругую систему, например балку с распределенной массой (рис. 10.15,а). Поставим следующую задачу. Какую массу m0 нужно приложить в некоторой точке В такой же, но невесомой балки

(рис. 10.15,б), чтобы низшие частоты колебаний исходной и упрощенной систем были одинаковы. Точку В назовем точкой приведения массы систе-мы, а массу m0 - приведенной массой.

 

 а) б)

 Рис. 10.15

 197

Если — коэффициент жесткости системы, то ее потенциальная энергия:

   (10.61)

 Подставляя (10.61) в формулу Релея (10.55), получим:

  (10.63) 

 С другой стороны, для системы с одной степенью свободы имеем

  (10.64)

 Сравнивая (10.62) и (10.63), получим:

  (10.65)

 Пример. Определить приведенную массу и частоту собственных колебаний тяжелой балки (рис. 10.16).

 

 Рис. 10.16 

 

 Решение. Примем для амплитуды выражение

 

Тогда, с учётом (10.64) имеем:

 

Перемещение

Поэтому

 

10.7. Устойчивость вращающихся валов

  Рассмотрим вал, вращающийся с угловой скоростью  (рис. 10.17) и несущий сосредоточенные массы  (диски).

 

 Рис. 10.17

 Будем считать, что он идеально сбалансирован и при вращении сохраняет прямолинейную форму. Если скорость вращения невелика, то малые случайные воздействия приводят вал к изгибным колебаниям, которые быстро затухают. В этих условиях прямолинейная форма вала устойчива. При некоторых больших скоростях вращения прямолинейная форма вала перестает быть устойчивой. Получив при этих скоростях вращения прогиб от случайного воздействия, вал уже не возвращается к своему исходному, прямолинейному состоянию. Он теряет устойчивость своей прямолинейной формы. Скорость о, при которой впервые вал не возвращается к своему исходному состоянию при действии случайного воздействия, называется критической угловой скоростью вращающегося вала.

 Предположим, что при действии возмущающих сил в смысле Эйлера, вал отклонился от своей прямолинейной формы и остался в искривленном состоянии. Тогда при его вращательном движении возникают центробежные силы инерции , приложенные к сосредоточенным массам, в каждый момент движения уравновешиваются упругими силами. Поэтому перемещение массы m, можно записать в виде:

  

 Например, для системы с двумя сосредоточенными массами будем иметь:

  (10.66)

 Система (10.66) имеет отличные от нуля решения только в том случае,

если определитель, составленный из ее коэффициентов, равен нулю: 

  (10.67)

 В случае системы с n степенями свободы получим выражение (10.20), т.е. критическая угловая скорость вращения в точности совпадает с частотой собственных колебаний вала как балки.

 В частности, для системы с одной степенью свободы имеем:

  (10.68)

 Явлению неустойчивости вращающихся валов можно дать и несколько иное истолкование. Идеально сбалансированных валов не бывает и в них, с самого начала вращения, возникают центробежные силы инерции, которые растут с увеличением . Следовательно, растут и перемещения  

(рис. 10.18,а).

 

 а) б)

 Рис. 10.18

 Здесь имеем явление, аналогичное таковому при эксцентричном сжатии гибкого стержня (рис. 10.18,б).

Пример 3. Определить усилия в стержнях, возникающие при сборке узла А из-за неточности d изготовления элементов системы (устранение технологического зазора d) рис. 6, а.

Дано: E1=E2=E; F1=2F2=2F;  l1=l2=l; d

Рис. 6

 Решение

Статическая сторона задачи. 

 

 

тогда  и  (а)

II. Геометрическая сторона задачи.

После принудительной сборки конструкции шарнир А займет положение А1 (рис. 6, б). Стержни 1 и 2 окажутся растянутыми. В соответствии с этим схема деформированной системы имеет вид, показанный на рис. 6, б.

Решение

Статическая сторона задачи. 

 

 

 

отсюда  (а)

Геометрическая сторона задачи.

Под действием силы Р балка АС опустится и наклонится, заняв положение А1С1 (рис. 5, б).

Исходя из силовой схемы, определяем степень статической неопределимости: S=3-2=1. Следовательно, для определения трех неизвестных сил N1, N2 и N3 требуется одно дополнительное уравнение. Оно составляется из условия совместности деформации стержней по схеме деформированной системы:

  (в)

или 

Физическая сторона задачи. 

По закону Гука имеем:

  

Подставляя это в (в), получаем:

  (с)

IV. Определение неизвестных.

Решая совместно уравнения (с) и (а), находим:

   

Задача 3г. Для балки с двумя консолями требуется: 1. Найти опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать двутавровое сечение. 3. Вычислить прогибы на конце каждой консоли и в середине пролета. По найденным величинам построить изогнутую ось балки и выполнить проверку жесткости, если допускается величина прогиба [y] = 1/200l, где l - длина прогиба балки.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений