Курс сопротивления материалов. Примеры

Прочность как один из основных показателей качества. Системность работ по обеспечению прочности. Прочность и безопасность конструкций. Требования к квалификации инженеров в области прочности в современных условиях. Учебный курс - "алфавит" науки о прочности и введение в механику деформирования и разрушения

 Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки методом начальных параметров А. Н. Крылова

 Рассмотрим балку, нагруженную силами и моментами  

(рис. 6.7). Силы Р, q считаем положительными, если они направлены в положительном направлении координатной оси у, т.е. вниз. Момент  считаем положительным, если он вращает сечение балки против часовой стрелки, когда мы смотрим на него с конца положительной оси х, ортогональной к плоскости yz. В этом случае прогибы любой точки оси стержня с координатой z направлены вниз по оси у.

 Рис. 6.7

 Балку по длине можно разбить на несколько участков, на которых аналитические выражения изгибающих моментов  будут различны.

Границей этих участков являются те сечения, над которыми к балке приложены сосредоточенные силы Р, момент m либо меняется характер нагружения так, как в сечении  с которого начинается действие

распределенной нагрузки .

 Интегрируем дважды дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (6.9):

 

 В результате получаем:

  (6.20)

где - прогиб и угол поворота сечения в начале координат при z = 0, называемые начальными параметрами задачи по определению перемещений. Вычислим в (6.20) интеграл:

 

при одновременном действиисчитая жесткость  при изгибе постоянной величиной. Для этого найдем аналитические выражения момента  для двух сечений от каждого внешнего силового воздействия. Пусть первое сечение z лежит левее рассматриваемой внешней силы или момента, а второе - правее. Тогда получаем (см. рис. 6.7):

 

 

 Полагая последовательно при почленном интегрировании dz =

= d(z – a) = d(z – b) = d(z – c), получаем:

 

 Интегрируя полученное выражение еще раз, найдем:

 

 Подставляя полученные выражения интегралов в (6.20), получим формулы:

  (6.21)

  (6.22)

называемые универсальными для угла поворота сечения и прогиба точки оси балки.

 Если распределенная нагрузка  не является постоянной, то ее можно разложить в ряд Тейлора в окрестности значения:

 

где- факториал числа n.

 В этом случае после интегрирования (6.20) получаем:

 (6.23)

 При наличии в балке внутреннего шарнира К в сечении  первая производная от прогиба v по z претерпевает в этом случае скачок на величину  (рис. 6.8) так, что:

  (6.24)

 

 Рис. 6.8

Интегрируя, получаем: (6.25

 Обобщенные силы m, Р, q в (6.23), (6.25) повторяются столько раз, сколько они рассматриваются в рассматриваемой задаче. Если распределенная нагрузка не доходит до рассматриваемого сечения с координатой z, то ее следует продолжить до этого сечения и добавить точно такую же, но противоположного знака (см. рис. 6.7).

ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

Растяжение и сжатие бруса.
Статически неопределимые задачи.
Определение геометрических характеристик поперечных сечений.
Кручение валов круглого, трубчатого и прямоугольного сечений.
Построение эпюр внутренних силовых факторов M, Q, и N в плоских изгибаемых брусьях и рамах.
Расчет на прочность при изгибе.
Определение перемещений при изгибе методом начальных параметров и при помощи общей формулы Мора.
Расчет статически неопределимой балки.
Внецентренное растяжение или сжатие.
Косой изгиб.
Расчет пространственного бруса.
Расчет на продольный изгиб.
Расчет на удар.
Расчет на выносливость.


8. ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

8.1. Обязательная литература

1. Александров А.В., Потапов В.Д. Сопротивление материалов. Основы теории упругости и пластичности. Учебник для строительных специальностей вузов. Изд. 2-е испр. М: Высшая школа, 2002, 400 с.
2. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. Учебник для вузов (под ред. Александрова А.В.) Изд. 3-е испр., М: Высшая школа,.2004, 560 с.
3. Сидоров В.Н. Лекции по сопротивлению материалов и теории упругости. -М.: Изд.центр Генштаба Вооруженных сил РФ, 2002, 352 с.
4.Кузьмин Л.Ю., Кузьмин А.Л. Методические указания к выполнению виртуальных работ

МОДЕЛЬ НАГРУЖЕНИЯ. КЛАССИФИКАЦИЯ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ Механические нагрузки (объемные и поверхностные). Силы внешние и внутренние. Дилатационные воздействия (тепловые, нейтронные, водородные). Воздействие коррозионно активных сред. Силовое и кинематическое нагружение.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений