Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 2а. Определение геометрических характеристик сечения, имеющего одну или две оси симметрии Требуется: 1. Найти положение центра тяжести. Если же оно известно без расчета, то обосновать его положение. 2. Показать главные центральные оси и обосновать их положение. 3. Вычислить главные центральные моменты инерции и осевые моменты сопротивления.

Собственные колебания упругих систем с конечным числом степеней свободы

  В этом случае и уравнения (10.5) принимают вид

  (10.6)

 Это система неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка. В частном случае системы с одной степенью свободы  получим:

  (10.7)

или, так как

  (10.8)

где обозначено

   (10.9)

 

Решение (10.8) будет:

 , (10.10)

где  частное решение уравнения (10.8), представляющее статическое перемещение массы, А - амплитуда колебания, -начальная фаза колебания,круговая частота (рис. 10.4).

 Время Т одного колебательного движения точки называют периодом колебания. Величину , характеризующую число колебаний в единицу времени, - частотой колебаний.

 Свяжем частоту колебаний с круговой частотой . Так как при изменении времени на Т система приходит, вследствие периодичности движения, в одно и то же положение, то

 

или

 

откуда имеем:

 

  (10.11)

 а) б)

 Рис. 10.4

 Максимальное перемещение

  (10.12)

где через

  (10.13)

обозначен коэффициент динамичности.

 

 Для определения А необходимо задать начальные условия:

   при t = 0. (10.14)

 Тогда

 

откуда 

  (10.15)

 Динамические максимальные напряжения определяются на основании закона Гука и соотношения (10.12) по формуле:

   (10.16)

Если число степеней свободы n > 1, то решением (10.6) будет

  (10.17)

где - частные решения, представляющие собой статические перемещения масс m, Ai - амплитуды колебании этих масс (рис. 10.5).

 а) б)

 Рис. 10.5

 Подставляя выражения (10.17) в (10.6), найдем уравнения:

  (10.18)

которые служат для определения собственных частот  колебаний упругой системы с n степенями свободы.

 Например, для системы с двумя степенями свободы (n = 2) имеем:

   (10.19) Однородная система уравнений (10.18) имеет отличные от нуля решения

только в том случае, если определитель, составленный из ее коэффициентов равен нулю:

  (10.20)

 Определитель (10.20) после раскрытия приводит к уравнению степени n относительно, которое имеет n корней . Каждый корень дает

частоту собственных колебаний упругой системы, причем их можно перенумеровать так, что

  (10.21) 

 Коэффициенты динамичности

   (10.22)

 Выше мы рассматривали собственные колебания при отсутствии сил сопротивления. При таком предположении колебания продолжаются сколь

угодно долго. В действительности всегда существуют силы (сопротивления воздуха, воды и др.), направленные против движения масс и приводящие к постоянному уменьшению амплитуды  собственных колебаний вплоть до остановки движения. Предположим, что силы сопротивления Ri пропорциональны первой степени скорости, т.е.:

 

 В этом случае вместо уравнений (10.6) имеем:

  (10.23)

 В частном случае системы с одной степенью свободы имеем:

  (10.24)

или, в силу

  (10.25)

где

 Решение уравнения можно (10.25) записать в виде:

   (10.26)

 186

где

  (10.27)

 Из (10.26) видно, что с ростом времени t амплитуда колебаний   уменьшается, как показано на рис. 10.6, причем частота колебаний мало отличается от в силу малости величины n.

 

 Рис. 10.6

 Величина

  (10.28)

является периодом колебаний, который больше, чем период колебаний Т в отсутствие сил сопротивления. Через период колебаний Т1 отношение амплитуд будет равно:

  (10.29)

или, логарифмируя, находим:

  (10.30)

Как видим, амплитуда убывает по закону (10.29). Величину  называют декрементом колебаний, а величину nT1 - логарифмическим декрементом. Аналогичные результаты получим для упругих систем при n > 1.

 Пример 1. Определить частоту  собственных колебаний массы m рамы

(рис. 10.7).

 

 а) б) 

 Рис. 10.7

 Решение. Система обладает одной степенью свободы, так как масса имеет возможность перемещаться только в горизонтальном направлении. Частоту собственных колебаний определяем по формуле (10.9)

  (1)

 Для определения  строим эпюру моментов от единичной силы   приложенной к массе в горизонтальном направлении и вычисляем графоаналитическим способом по формуле Мора:

  (2)

 Подставляя (2) в (1), найдем:

  (3)

ПРИМЕР 2: Определить положение главных центральных осей и вычислить главные центральные моменты инерции для сечения (рис. 4), состоящего из неравнобокого уголка №14/9 (ГОСТ 8510-57) и швеллера №24 (ГОСТ 8240-56).

Решение: Разбиваем фигуру на части, геометрические характеристики которых можно взять из таблиц сортамента, на швеллер и уголок; через их центр тяжести c1 и c2 проводим центральные оси z1, y1 и z2, y2, параллельные их сторонам. Поскольку z1 - ось симметрии швеллера, то она и ось y1 являются его главными центральными осями. Главная центральная ось уголка v-v образует с его центральной осью z2 угол a.

Из таблиц сортамента имеем:

Для швеллера №24 F1=30,6 см2

координаты центра тяжести  

h=24 см b=9 см

Для уголка №14/9 F2=22,2 см2

 

координаты центра тяжести  

1) Определим координаты центра тяжести всего сечения, для этого принимаем за исходные оси главные центральные оси швеллера z1 и y1 и согласно (2) и (3) получаем:

 

 

13


14

Через центр тяжести C проводим центральные оси zc и yc, параллельные проведенным ранее центральным осям швеллера и уголка.

Задача 2в. Для каждой пары сечений, имеющих одинаковые площади Требуется: 1. Найти и сравнить положения главных центральных осей. 2. Найти и сравнить величины главных центральных моментов инерции.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений