Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 3б. Изгиб балки на двух опорах Для схемы № 3 требуется: 1. Найти опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать сечения заданной формы с таким же соотношением h/b.

Статически определимые и неопределимые стержневые неизменяемые системы

  Кинематически неизменяемая стержневая система называется статически определимой если все внутренние силовые факторы можно найти из независимых уравнений статики. В противном случае система называется статически неопределимой. Степенью статической неопределённости называется разность n между числом неизвестных внутренних силовых факторов, опорных реакций и числом независимых уравнений статики.

 На рис.8.9. приведён статически неопределимая рама, у которой число внешних неизвестных реакций в опорах равно шести, а независимых уравнений равновесия можно составить только три. Следовательно, степень статической неопределимости n = 6 – 3 = 3. Эту систему назовём основной системой. В данном примере мы имеем три простые лишние связи в

опоре В.

  

 а) б)

  

 в) г)

 Рис.8.9

Соответствующие им опорные реакции Х1 = НВ, Х2 = RB, X3 = mB назовём лишними неизвестными. Число лишних неизвестных и соответствующих им лишних простых связей определяет степень статической неопределимости n=3. Основную систему с приложенными к ней лишними неизвестными Х1, Х2, Х3 и внешней нагрузкой Р называют эквивалентной системой при условии, что её действительные перемещения согласуются с наложенными на исходную систему связями. Основных и эквивалентных систем может быть несколько. На рис.8.9,г изображена эквивалентная система, в которой в качестве лишних связей и неизвестных выбраны внутренние силовые факторы Х1=N, X2=Q, X3=M. Рассмотрим раму с замкнутым стержневым контуром (рис.8.10,а). Внешние реакции этой системы можно найти из уравнений равновесия рамы: НА= - Р, RB= - RA= .

 Это означает, что по отношению к внешним связям и внешним реакциям рама статически определима. Рассекая раму, мы тут же убеждаемся, что определить внутренние силовые факторы X1=N, X2=Q, X3=M  не представляется возможным, т.к. они не могут быть определены из уравнений равно-весия. Следовательно, замкнутый стержневой контур рамы трижды статически неопределим.

 а) б)

 Рис.8.10

Таким образом, в рассмотренных двух примерах число лишних неизвестных либо связей определяет степень статической неопределимости системы.

 Рассмотрим теперь три другие рамы, которые содержат замкнутые контуры (рис.8.11).

 

 а) б) в)

 Рис.8.11

 Первая рама (рис.8.11,а) имеет шесть простых внешних связей при трёх необходимых для плоской системы. Следовательно, система имеет

Л = 6 – 3 = 3 лишние внешние связи. Система имеет один замкнутый контур К = 1, который имеет три лишние внутренние простые связи, т.е. трижды статически неопределим. Следовательно, степень статической неопределимости системы n = Л + 3К = (6 – 3) += 6. Вторая рама (рис.8.11,б) имеет пять внешних простых связей при трёх необходимых. Следовательно, Л = 5 – 3 = 2 и система внешним образом дважды статически неопреде-лима. Система имеет два замкнутых контура К = 2, каждый из которых трижды статически неопределим, следовательно, внутренним образом система 3К =  = 6 шесть раз была бы статически неопределима, если бы не было внутреннего шарнира. Последний соединяет три стержня

(m = 3) и поэтому даёт системе ( m – 1) = 3 – 1 = 2 степени свободы. Таким образом, степень свободы статической неопределимости второй рамы можно вычислить по общей формуле:

  n = Л + 3К – Ш0 ,

где Ш0 – число простых врезанных шарниров, К – число замкнутых конту-ров, Л – число лишних внешних связей.

 В результате получаем:  n = (5 – 3) +  - 2 = 6.

 Третья рама (рис.8.11,в) имеет Л = 9 – 3 = 6, К = 4, Ш0 = 2 + 3 = 5, следовательно, n = 6 +  - 5 = 13.

 Отметим, что степень статической неопределимости стержневой системы и её степень свободы связаны равенством n = - N.

Построение эпюры напряжений.

Наибольшие напряжения при кручении возникают на внешних волокнах и определяются как

где Wp(z)= - полярный момент сопротивления, Ip – полярный момент инер-ции, rmax – максимальный радиус. Определим геометрические характеристики се-чений.

Участок АВ

Участок ВС

Участок CD

Определим опасное сечение стержня, в котором возникают максимальные напряжения, в долях 1/d3.

Участок АВ (0 ≤ z1 ≤ l1 = 0,5 м)

Участок ВС (0 ≤ z2 ≤ l2 = 0,2 м)

Участок СD (0 ≤ z3 ≤ l3 = 0,6 м)

По полученным данным строим Эτ d3 (рис 2.2).

Содержание расчетно-проектировочной работы охватывает далеко не весь курс сопротивления материалов, а лишь его основные разделы: центральное растяжение-сжатие прямого бруса, геометрические характеристики поперечных сечений, прямой плоский изгиб балок, устойчивость сжатого стержня.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений